۲- مجموعه‌ی A شامل سه عدد طبیعی متوالی است به طوری که حاصل جمع آنها برابر ۲۷ است. ابتدا A را با عضوهای آن بنویسید؛ سپس مجموعه‌هایی را مشخص کنید که در زیر معرفی شده و با A برابر است:
الف) مجموعه‌ی عددهای طبیعی بین ۶ و ۱۰
ب) مجموعه‌ی عددهای طبیعی بزرگ‌تر از ۷ و کوچک‌تر از ۱۱
ج) مجموعه‌ی سه عدد طبیعی متوالی که میانگین آنها با ۹ برابر است.
پاسخ تشریحی:
ابتدا باید اعضای مجموعه‌ی A را پیدا کنیم.
**مرحله ۱: تعیین اعضای مجموعه‌ی A**
فرض می‌کنیم سه عدد طبیعی متوالی $n, n+1, n+2$ باشند. طبق صورت سوال، مجموع این سه عدد برابر با ۲۷ است:
$n + (n+1) + (n+2) = 27$
$3n + 3 = 27$
$3n = 24$
$n = 8$
بنابراین، این سه عدد ۸، ۹ و ۱۰ هستند. پس مجموعه‌ی A به صورت زیر است:
$A = \{8, 9, 10\}$
**مرحله ۲: بررسی برابری مجموعه‌های دیگر با A**
دو مجموعه زمانی برابر هستند که اعضای آنها دقیقاً یکسان باشند.
* **الف) مجموعه‌ی عددهای طبیعی بین ۶ و ۱۰:**
این مجموعه شامل اعداد طبیعی است که از ۶ بزرگ‌تر و از ۱۰ کوچک‌تر هستند. پس اعضای آن $ \{7, 8, 9\} $ است. این مجموعه با A برابر **نیست**.
* **ب) مجموعه‌ی عددهای طبیعی بزرگ‌تر از ۷ و کوچک‌تر از ۱۱:**
این مجموعه شامل اعداد طبیعی $ \{8, 9, 10\} $ است. این مجموعه با A برابر **است**.
* **ج) مجموعه‌ی سه عدد طبیعی متوالی که میانگین آنها با ۹ برابر است:**
در اعداد متوالی، میانگین برابر با عدد وسطی است. پس اگر میانگین ۹ باشد، عدد وسطی ۹ و دو عدد دیگر ۸ و ۱۰ خواهند بود. بنابراین، این مجموعه $ \{8, 9, 10\} $ است. این مجموعه نیز با A برابر **است**.
**نتیجه‌گیری:** مجموعه‌های تعریف شده در گزینه‌های **(ب)** و **(ج)** با مجموعه‌ی A برابر هستند.
۱- جدول عددهای صحیح روبه‌رو را طوری کامل کنید که مجموع عددهای روی هر سطر، هر ستون و هر قطر آن برابر ۱۲ شود؛ سپس مجموعه‌ی عددهای سطر دوم جدول را بنویسید و آن را A بنامید.
اکنون مجموعه‌ی B را چنان بنویسید که شامل سه عدد زوج متوالی و میانگین عضوهای آن با ۴ برابر باشد.
هریک از مجموعه‌های A و B چند عضو دارد؟
آیا هر عضو A در مجموعه‌ی B است؟ آیا هر عضو B در مجموعه‌ی A است؟
پاسخ تشریحی:
**مرحله ۱: کامل کردن جدول (مربع جادویی)**
**توجه:** این سوال در کتاب درسی دارای اشکال است. با اعداد داده شده ($۱۰$ در خانه‌ی بالا-وسط، $-۴$ در خانه‌ی پایین-چپ و $-۲$ در خانه‌ی پایین-راست) و مجموع ۱۲، رسیدن به یک مربع جادویی صحیح **امکان‌پذیر نیست**. زیرا محاسبات به تناقض می‌رسد.
اگر فرض کنیم مجموع جادویی عدد دیگری، مثلاً **۶** باشد، جدول قابل حل است. ما با فرض مجموع **۶** ادامه می‌دهیم:
خانه پایین-وسط (f): $(-4) + f + (-2) = 6 \Rightarrow f = 12$
خانه وسط (d): $10 + d + 12 = 6 \Rightarrow d = -16$
خانه بالا-چپ (a): $a + (-16) + (-2) = 6 \Rightarrow a = 24$
خانه بالا-راست (b): $24 + 10 + b = 6 \Rightarrow b = -28$
خانه وسط-چپ (c): $24 + c + (-4) = 6 \Rightarrow c = -14$
خانه وسط-راست (e): $(-28) + e + (-2) = 6 \Rightarrow e = 36$
جدول کامل شده با مجموع ۶:
| ۲۴ | ۱۰ | -۲۸ |
|---|---|---|
| **-۱۴** | **-۱۶** | **۳۶** |
| -۴ | ۱۲ | -۲ |
بر اساس این جدول، مجموعه‌ی A (سطر دوم) برابر است با:
$A = \{-14, -16, 36\}$
**مرحله ۲: نوشتن مجموعه‌ی B**
مجموعه‌ی B شامل سه عدد زوج متوالی است که میانگین آنها ۴ است. در اعداد متوالی، میانگین همان عدد وسطی است. پس عدد وسطی ۴ و دو عدد دیگر ۲ و ۶ هستند.
$B = \{2, 4, 6\}$
**مرحله ۳: تعداد اعضای مجموعه‌ها**
* مجموعه‌ی A دارای **۳ عضو** است ($|A|=3$).
* مجموعه‌ی B دارای **۳ عضو** است ($|B|=3$).
**مرحله ۴: مقایسه‌ی دو مجموعه**
* **آیا هر عضو A در مجموعه‌ی B است؟** خیر. هیچ‌یک از اعضای A ($ \{-14, -16, 36\} $) در مجموعه‌ی B ($ \{2, 4, 6\} $) وجود ندارد.
* **آیا هر عضو B در مجموعه‌ی A است؟** خیر. هیچ‌یک از اعضای B در مجموعه‌ی A وجود ندارد.
